题目内容

已知x3+mx2-3x+n=0的三根的平方和为6，且有两个相等的正根，求m、n．
分析：由一元三次方程根与系数的关系，我们根据方程有两个相等的正根，可将方程的三根设为α，β，β，且β＞0，从而得到一个四元方程组，利用乘法公式处理后，即可得到m、n的值．
解答：解：设方程的三根为α，β，β，且β＞0．
由根与系数的关系及题设有
α+2β=-m(1)
2αβ+β2=-3(2)
αβ2=-n(3)
α2+2β2=6(4)

由（4）-2•（2）得α2-αβ=12（5）
（1）式平方得α2+4αβ+4β2=m2（6）
（5）+（6）得2α2+4β2=12+m2．
由（4）得2•6=12+m2，∴m=0．
由（1）得α+2β=0
∴α=-2β代入（4）式可得6β2=6，β=1（∵β＞0，∴β≠-1）．
α=-2．由（3）n=-αβ2=-（-2）•1=2．
故m=0，n=2．
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，一元n次方程根与系数的关系，难度系数较大，其中利用一元n次方程根与系数的关系，构造四元方程组是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=x3+mx2+x+5，存在实数xo使f′（xo）=0，又f（x）是R上的增函数，则m的取值范围是（　　）
A、（-∞，-
3
]∪[
3
，+∞)
B、{-
3
，
3
}
C、（-∞，-
3
)∪(
3
，+∞)
D、[-
3
，
3
]
已知m∈R，设P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立．Q：函数f(x)=x3+mx2+(m+
43
)x+6在（-∞，+∞）上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围．
已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是
m＜-3或m＞6
m＜-3或m＞6
．
已知函数f（x）=x3+mx2+nx有两个不同的极值点α，β，设f（x）在点（-1，f（-1））处的切线为l1，其斜率为k1；在点（1，f（1））处的切线为l2，其斜率为k2
（1）若m=1，n=-1，当t∈（-1，1）时，求函数f（x）在x∈[t，1]上的最小值；
（2）若k1=-
1
2
，|α-β|=
10
3
，求m，n；
（3）若α，β∈（-1，1），求k1•k2可能取到的最大整数值．
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．

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