Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=

3

．
（1）求证BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

（1）证明：如图1
∵底面ABCD是正方形；
∴BC⊥DC；
∵SD⊥底面ABCD；
∴DC是SC在平面ABCD上的射影
由三垂线定理得BC⊥SC

（2）∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可以把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，如图2


面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S
∴SC⊥A₁S
又SD⊥A₁S，
∴∠CSD为所求二面角的平面角
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=

2

在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1，
∴∠CSD=45°即面ASD与面BSC所成的二面角为45°