Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形（记为Q）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。

Answer 1

解：（1）依题意，设椭圆C的方程为 焦距为2c，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程式为。
（2）椭圆C的左准线方程为， 所以点P的坐标， 显然直线l的斜率k存在， 所以直线l的方程为， 如图，设点M，N的坐标分别为， 线段MN的中点G 由得① 由 解得， ② 因为是方程①的两根， 所以 于是= 因为≤0 所以点G不可能在y轴的右边 直线，方程分别为 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为 ， 即， 亦即 解得，此时②也成立； 故直线l斜率的取值范围是[，）。