Question

（2013•保定一模）数列{a_n}的通项公式a_n=nsin（

n+1

2

π）+1，前n项和为S_n（n∈N^*），则S₂₀₁₃=（　　）

A．1232

B．2580

C．3019

D．4321

Answer 1

分析：根据正弦函数的诱导公式和周期，分类讨论可得：随着n的值变化，a_n=nsin（

n+1

2

π）+1的值为n+1、-n+1或1．由此化简S₂₀₁₃的表达式，结合等差数列的求和公式即可求出答案．

解答：解：当n=4k（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sin

π

2

=1；当n=4k+1（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sinπ=0
当n=4k+2（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sin

3π

2

=-1；当n=4k+3（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sin2π=0
由此可得
S₂₀₁₃=（1×sinπ+1）+（2×sin

3π

2

+1）+（3×sin2π+1）+…+（2013sin

2014

2

π+1）
=[2×（-1）+4×1+6×（-1）+8×1+…+2010×（-1）+2012×1]+2013×1
=（-2+4-6+8-10+…+2008-2010+2012）+2013=1006+2013=3019
故选：C

点评：本题求一个特殊数列的前2013项和，着重考查了正弦函数的周期、诱导公式和等差数列的通项与求和等知识，属于中档题．