Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线x²=4得焦点．设椭圆方程为．由题意可得，再利用及a²=b²+c²即可得出；
（2）由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系．设点A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则B（x₁，-y₁）．直线BE的方程为．把y₁，y₂分别用x₁，x₂表示，在代入直线BE的方程即可得出；
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x₃，y₃），T（x₄，y₄）在椭圆C上，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系及判别式，再利用向量的数量积，即可得出其其中范围．当过点M的直线斜率不存在时，比较简单．
解答：（1）解：由抛物线x²=4得焦点．
设椭圆方程为．
由题意可得，解得，
∴椭圆的方程为．
（2）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4），
联立，消去y得到（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0   ①
设点A（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则B（x₁，-y₁）．
直线BE的方程为．
令y=0，则，
把y₁=k（x₁+4），y₂=k（x₂+4）代入上式并整理得．②
由①得，，将其代入②并整理得．
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）．
（3）当过点M的直线斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且S（x₃，y₃），T（x₄，y₄）在椭圆C上，
联立得（4m²+3）x²+8m²x+4m²-12=0，
则△=（8m²）²-4（4m²+3）（4m²-12）=144（m²+1）＞0．
∴，，
∴=m²（x₃x₄+x₃+x₄+1）=-．
∴=x₃x₄+y₃y₄==-．
由m²≥0得．
当过点M的直线斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，，，
此时，，
∴•的取值范围为．
点评：本题综合考查了椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程得根与系数的关系、直线过定点问题、向量相等及其数量积等基础知识及基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．