Question

（2012•邯郸一模）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₂且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若

F1A

•

F1B

=0，则双曲线的离心率为

2

+1

．

Answer 1

分析：因为

F1A

•

F1B

=0，所以AF₁与BF₁互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF₁B是以AB为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率．

解答：解：根据题意，得右焦点F₂的坐标为（c，0）
联解x=c与

x2

a2

-

y2

b2

=1，得A（c，

b2

a

），B（c，-

b2

a

）
∵

F1A

•

F1B

=0
∴AF₁与BF₁互相垂直，△AF₁B是以AB为斜边的等腰Rt△
由此可得：|AB|=2|F₁F₂|，即

2b2

a

=2×2c
∴

c2-a2

a

=2c，可得c²-2ac-a²=0，两边都除以a²，得e²-2e-1=0
解之得：e=

2

+1（舍负）
故答案为：

2

+1

点评：本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．