Question

【题目】已知函数， .

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，若对任意，都有成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为， ，单调递减区间为;（2）.

【解析】试题分析：（1）当时，代入函数，求 ， 是函数的增区间， 是函数的减区间；（2）当成立，整理为 ，设 ，利用导数求函数的最小值，求整数的最大值.

试题解析：（1）解：由题意可知函数的定义域为.

当时， ，

.

①当或时， ， 单调递增.

②当时， ， 单调递减.

综上， 的单调递增区间为， ，单调递减区间为.

（2）由，得，

整理得，

∵，∴.

令，则.

令，∵，∴.

∴在上递增， ，

∴存在唯一的零点.

∴，得.

当时， ，

∴在上递减；

当时， ，

∴在上递增.

∴，

要使对任意恒成立，只需.

又，且，∴的最大值为.