题目内容

设a1,a2,…,an是n个正数,证明,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

证法一:记G=,令bi=(i=1,2,…,n),则原不等式?b1+b2+…+bn≥n,其中b1·b2·…·bn=1.取x1,x2,…,xn,使b1=,b2=,…,bn-1=,则bn=,由排序不等式易证

b1+b2+…+bn=++…+≥n,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

所以所证不等式成立,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

证法二:令ti=(i=1,2,…,n),则tn=1.从而正数序列t1,t2,…,tn及对应两项大小次序正好相反,由排序原理得

n=t1·+t2·+…+tn·≤t1·+t2·+…+tn·,

即n≤=,

从而G≤,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

练习册系列答案
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5、设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S2=a1b1+a2b2+…+anbn，则下面正确的是（　　）
（2012•眉山二模）设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我们称S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn为两组实数的乱序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1为反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 为顺序和．根据排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正数，则A≤B；
③设正实数a1，a2，a3的任一排列为c1，c2，c3则
a1
c1
+
a2
c2
+
a3
c3
的最小值为3；
④已知正实数x1，x2，…，xn满足x1+x2+…+xn=P，P为定值，则F=
x
2
1
x2
+
x
2
2
x3
+…+
x
2
n-1
xn
+
x
2
n
x1
的最小值为
P
2
．
其中所有正确命题的序号为
①③
①③
．（把所有正确命题的序号都填上）
设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则的值为(    )

A.         B.         C.        D.1

设a1,a2,a3为1,2,3的一个排列,则+的最小值为(　　)

A.                     B.                  C.                     D.2

设a1,a2,a3为1,2,3的一个排列,则+的最小值为(　　)

A.                     B.                  C.                     D.2

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