题目内容

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（2）写出数列{a_n}的通项公式（不要求计算过程），令 $数学公式$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（1）∵a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=a_n+2-a_n+1= $\text{[math]}$ （a_n+1+a_n）-a_n+1=- $\text{[math]}$ b_n，
∵a₁=1，a₂=2，
∴b₁=a₂-a₁=1
∴数列{b_n}是以1为首项，- $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，通项公式为b_n= $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）知，a_n+1-a_n= $\text{[math]}$
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+1+…+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ①
∴ $\text{[math]}$ S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ②
①-②可得 $\text{[math]}$ S_n=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴数列{c_n}的前n项和S_n= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，由b_n=a_n+1-a_n，可得b_n+1=a_n+2-a_n+1=- $\text{[math]}$ b_n，从而可得数列{b_n}是以1为首项，- $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，可求通项公式；
（2）利用累加法可得数列{a_n}的通项公式，进而可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明与通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．