Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k₁，k₂
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意椭圆的离心率，2a=4，由此知椭圆方程为，直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），由此能得到k₁：k₂=3．
（2）因为，所以a=2c，b=，椭圆方程为3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，再由韦达定理进行求解．
解答：解：（1）由题意椭圆的离心率，2a=4，所以a=2，c=1，b=，
故椭圆方程为，…（3分），
则直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），
当点C在x轴上方时，，，
所以k₁：k₂=3，
当点C在x轴下方时，同理可求得k₁：k₂=3，
综上，k₁：k₂=3为所求．…（6分）
（2）解：因为，所以a=2c，b=，
椭圆方程为3x²+4y²=12c²，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由，消x得，（4+3m²）y²-6mxy-9c²=0，
所以…（8分）
故，①
由，及，…（9分）
得=，
将①代入上式得=，…（10分）
注意到y₁y₂0，得，…（11分）
所以k₁：k₂=3为所求．…（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．