Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

3

2

)，其离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把点M(1，

3

2

)的坐标代入椭圆C的方程，再结合离心率为

1

2

求出a，b，c即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据平行四边形的特征可得x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，然后利用根与系数的关系得到k与m的关系，最后根据点到直线的距离公式得到关于k的函数，进而利用函数求最值的方法求出答案即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知，e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，
所以3a²=4b²，①（1分）
又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，
则由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
设A、B、P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则：x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

，
由于点P在椭圆C上，所以

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．
从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．
又点O到直线l的距离为：d=

|m|

1+k2

=

3 4 +k2

1+k2

=

1- 1 4(1+k2)

≥

1- 1 4

=

3

2

．
当且仅当k=0时等号成立，
当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而P点为（-2，0），（2，0），直线l为x=±1，所以点O到直线l的距离为1，
所以点O到直线l的距离最小值为

3

2

．

点评：解决此类问题的关键是正确的运算并且抓住式子的结构特征利用函数求最值的方法解决问题．