Question

已知函数f（x）=4sin²x+2sin2x-2，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称．

Answer 1

分析：（1）通过二倍角公式化简f（x），化成一角一函数的形式，进而确定周期和最大最小值．
（2）要证明函数f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称，只要证明对任意x∈R，有f(-

π

8

-x)=f(-

π

8

+x)成立，代入验证即可．

解答：解：f（x）=4sin²x+2sin2x-2=2sinx-2（1-2sin²x）=2sin2x-2cos2x=2

2

sin(2x-

π

4

)
（1）所以f（x）的最小正周期T=π，
因为x∈R，所以，
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

时，f（x）最大值为2

2

；
（2）证明：欲证明函数f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称，只要证明对任意x∈R，有f(-

π

8

-x)=f(-

π

8

+x)成立，
因为f(-

π

8

-x)=2

2

sin[2(-

π

8

-x)-

π

4

]=2

2

sin(-

π

2

-2x)=-2

2

cos2x，f(-

π

8

+x)=2

2

sin[2(-

π

8

+x)-

π

4

]=2

2

sin(-

π

2

+2x)=-2

2

cos2x，
所以f(-

π

8

-x)=f(-

π

8

+x)成立，从而函数f（x）的图象关于直线x=-

π

8

对称．

点评：本题考查了三角函数的最值，周期以及图象的对称，综合性比较强，是中档题．