题目内容
22、定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．
分析：根据定义先对a、b进行赋值令a=x2，b=x1，并规定大小，代入af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），然后化简提取公因数，判定出f（x2）与f（x1）的大小，根据增函数的定义进行判定即可．
解答：证明：设-1≤x1＜x2≤1，令a=x2，b=x1，
则x2f（x2）+x1f（x1）＞x2f（x1）+x1f（x2）
∴（x2-x1）f（x2）+（x1-x2）f（x1）＞0，
∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0
∵x2-x1＞0，∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
则x2f（x2）+x1f（x1）＞x2f（x1）+x1f（x2）
∴（x2-x1）f（x2）+（x1-x2）f（x1）＞0，
∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0
∵x2-x1＞0，∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及赋值法的运用，属于基础题．
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