Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1，a₁=3，
（1）求证：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）令

1

bn-1

=

an-1

2n

，Tn为数列{b_n}的前n项的积，求证：T_n＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）在等式a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1的两边同除以2ⁿ，利用等差数列的定义得到证明；
（2）利用对称数列的通项公式求出

an-1

2n

，进一步求出数列{a_n}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（3）这是一个与正整数有关的不等式的证明，可利用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）an+1=2an+2n+2-1⇒an+1-1=2(an-1)+2n+2⇒

an+1-1

2n+1

=

an-1

2n

+2，
∴{

an-1

2n

}是公差为2，首项为1的等差数列
（2）由（1）知：

an-1

2n

=2n-1，
∴an=(2n-1)•2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹
∴Sn=n+6+(2n-3)•2n+1
（3）∵

1

bn-1

=

an-1

2n

=2n-1
∴bn=

2n

2n-1

，
∵T_n=b₁b₂b₃•…•b_n
当n=1时，T1=b1=2＞

2×1+1

不等式成立
假设n=k（k∈N*）不等式b1•…•bk＞

2k+1

成立，
则当n=k+1时，有b1•…•bk•bk+1＞

2k+1

•

2k+2

2k+1

=

2k+2

2k+1

∵

2k+2

2k+1

=

4k2+8k+4

2k+1

＞

4k2+8k+3

2k+1

=

(2k+1)(2k+3)

2k+1

=

2k+3

∴b1•…•bk+1＞

2(k+1)+1

即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．

点评：求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．