Question

已知函数f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内不是单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[e，e²]上的最小值．

Answer 1

f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）由已知，得f′（x）在[1，+∞）上有解，即a=

1

x

在（1，+∞）上有解，
又∵当x∈（1，+∞）时，

1

x

＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是（0，1）…（6分）
（2）①当a≥

1

e

时，因为f′（x）＞0在（e，e²）上恒成立，这时f（x）在[e，e²]上为增函数，
所以当x=e时，f（x）_min=f（e）=1+

1-e

ae

 …（8分）
②当0＜a≤

1

e2

时，因为f′（x）＜0在（e，e²）上恒成立，这时f（x）在[e，e²]上为减函数，
所以，当x=e²时，f（x）_min=f（e²）=2+

1-e2

ae2

，…（10分）
③当

1

e2

＜a＜

1

e

时，令f′（x）=0得，x=

1

a

∈（e，e²），
又因为对于x∈（e，

1

a

）有f′（x）＜0，
对于x∈（

1

a

，e²）有f′（x）＞0，
所以当x=

1

a

时，f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

…（14分）
综上，f（x）在[e，e²]上的最小值为
f（x）_min=

1+ 1-e ae ，当a≥ 1 e 时 ln 1 a +1- 1 a ，当 1 e2 ＜a＜ 1 e 时 2+ 1-e2 ae2 ，当0＜a＜ 1 e2 时

…（16分）