Question

已知整数a，b，c，使等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x-11）（x+1）对任意实数x均成立，求c的值．

Answer 1

分析：将等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x-11）（x+1）变为：（a+b+c+10）x+ab-10c+11=0，要使等式对一切实数x均成立，必须使得a+b+c+10=0及 ab-10c+11=0，从而进一步可得：c=-

a2+10a-11

a+10

=-a+

11

a+10

，利用a，c均为整数，可知a+10整除11，从而可求c的值

解答：解：将等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x-11）（x+1）变为：（a+b+c+10）x+ab-10c+11=0（1）…（2分）
依题意，得：等式（1）对一切实数x均成立，则有

a+b+c+10=0…(2) ab-10c+11=0…(3)

（5分）
由（2）得：b=-a-c-10…（4）
将（4）代入（3）得：c=-

a2+10a-11

a+10

=-a+

11

a+10

（7分）
∵a，c均为整数，∴a+10整除11
即a+10为11或1或-11或-1
当a+10=11即a=1时 c=0；  
当a+10=1即a=-9时 c=20；
当a+10=-11即a=-21时 c=20；
当a+10=-1即a=-11时 c=0；
∵a，c为整数，∴由（4）可知b必为整数
∴c的值为20或0…（10分）

点评：本题以等式为载体，考查恒成立处理方法，解题的关键是等式的等价变形，同时考查整除性问题．