Question

给出下列4个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形；
②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形；
③若cosAcosBcosC＜0，则△ABC是钝角三角形；
④若cos（A-C）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题是（　　）

A．①③

B．③④

C．①④

D．②③

Answer 1

分析：①由于sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即得A与B两角的关系，进而判断出三角形的形状；
②由于sinA=cosB=sin（

π

2

±B）则A=（

π

2

±B）或A+（

π

2

±B）=

π

2

，即得A与B两角的关系，进而判断出三角形的形状；
③由题意知cosA，cosB，cosC中必有一个为负数，则△ABC必有一角为钝角；
④由于|cosX|≤1 cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，再由三角形内角范围，可求出各个角大小．

解答：解：①由于sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故①错；
②由于sinA=cosB=sin（

π

2

±B），即sinA=sin（

π

2

±B），则A=（

π

2

±B）或A+（

π

2

±B）=

π

2

，则A-B=

π

2

或A-B=0或A+B=

π

2

，故②错；
③由于cosAcosBcosC＜0，则cosA，cosB，cosC中必有一个为负数，不妨设cosA＜0，则角A为钝角，故△ABC是钝角三角形，即③正确；
④∵|cosX|≤1 cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1
又∵A、B、C＜180°∴A-B=B-C=C-A=0°
∴A=B=C=60°∴△ABC是等边三角形，故④正确
故答案为 B．

点评：本题考查三角恒等变换，属于基础题，要求考生熟练掌握有关的公式结论．