Question

正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上一点，将△AED及△DCF折起，使A、C点重合于A′点．
（1）证明A′D⊥EF；
（2）当BF=BC时，求三棱锥A′-EFD的体积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的几何牲，我们易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由线面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由线面垂直的性质可得A′D⊥EF；
（2）根据A´E=AE=1，A´F=CF=，EF=利用勾股定理得出：△A´EF为Rt三角形，∠A´EF=90°，最后利用体积公式即可求三棱锥A′-EFD的体积．
解答：证明：（1）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
（2）A´E=AE=1，A´F=CF=，EF=
∴A´F²=EF²+A´E²
∴△A´EF为Rt三角形，∠A´EF=90°
∴S_△A´EF=     
 V_A´-EFD=V_D-A´EF=S_△A´EF•DA´=
点评：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定和性质，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的之间的相互转化关系，（2）的关键是求得棱锥的高长．