题目内容

对于函数f（x），若存在，使得成立，则称为f（x）的不动点，已知函数

（1）当时，求函数f（x）的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在⑵条件下，若图象上的A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b 的最小值．


解析:

（1）当时，

由题意有解得或

故当时，f（x）的两个不动点为－1，3．

（2）因为恒有两个不动点，所以

即恒有两个相异的实数根，

得恒成立，

于是解得

所以当恒有两个相异的不动点时，a的取值范围是

（3）由题意，A、B两点应在直线上．

设AB的中点为

因为A、B关于直线对称，所以

又因为是方程的两根，所以

由点M在直线上，得

因为所以当且仅当时取等号，

故b的最小值为．

练习册系列答案
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对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“稳定区间”的函数有
 
（填出所有满足条件的函数序号）
对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．若函数f（x）=k+
x+2
是“科比函数”，则实数k的取值范围是
 
．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的图象关于直线x=m对称，求证：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范围．
对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的：“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．
对于函数f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的不动点．若函数f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且仅有两个不动点0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）试求函数f（x）的单调区间，
（2）已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示数列{an}的前n项和，求证：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前题条件下，设bn=-
1
an
，Tn表示数列{bn}的前n项和，求证：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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