Question

已知a∈R，函数f(x)=e

x

2

-x+a，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）当x∈（0，+∞）时，不等式e^x≥x²-2ax+1恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数求f（x）的单调区间和极值；
（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值即可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=

1

2

e

x

2

-1，∴由f'（x）＞0得，e

x

2

＞2，即x＞ln4，
∴递增区间（ln4，+∞）．
由f'（x）＜0，解得x＜ln4，即函数f（x）的单调递减区间（-∞，ln4），
∴当x=ln4时，函数取得极小值为f（ln4）=a+2-ln4，无极大值．
（2）原不等式可化为：2a≥

x2-ex+1

x

，
令g（x）=

x2-ex+1

x

，
则g′(x)=(x-1)•

x+1-ex

x2

，
令M（x）=x+1-e^x，可得M′（x）=1-e^x在x∈（0，+∞）上恒小于等于零，
∴函数g（x）=

x2-ex+1

x

在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上有最大值g（1）=2-e，
即所求a的范围是a∈[

2-e

2

，+∞)．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查导数的基本运算和应用，考查学生的运算能力．