Question

已知函数f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（ I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（B+C）=1，a=

3

，b=1，求角C的大小．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得f（x）=sin（x+

π

6

），然后结合正弦函数的单调递增区间为(2kπ-

1

2

π，2kπ+

1

2

π)，k∈Z可求
（Ⅱ）由f（B+C）=1可求B+C，进而可求A，然后 由正弦定理

sinB

b

=

sinA

a

可求sinB，进而可求B

解答：解：（I）因为f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

，
=

3

2

sinx+

1+cosx

2

-

1

2

=

3 sinx+cosx

2

=sin（x+

π

6

）…（6分）
又y=sinx的单调递增区间为(2kπ-

1

2

π，2kπ+

1

2

π)，k∈Z
所以令2kπ-

1

2

π＜x+

π

6

＜2kπ+

1

2

π
解得2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

π

3

所以函数f（x）的单调增区间为(2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

)，k∈Z   …（8分）
（Ⅱ） 因为f（B+C）=1所以sin（B+C+

π

6

）=1，
又B+C∈（0，π），B+C∈(

π

6

，

7π

6

)
所以B+C+

π

6

=

1

2

π
∴B+C=

π

3

∴A=

2π

3

（10分）
 由正弦定理

sinB

b

=

sinA

a

把a=

3

，b=1代入，得到sinB=

1

2

                         …（12分）
又b＜a，B＜A，所以B=

π

6

，所以C=

π

6

              …（13分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质及特殊角的三角函数值的应用，正弦定理的应用，本题具有一定的综合性