Question

21.三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.

（Ⅰ）求证AB⊥BC;

（Ⅱ）如果AB=BC=2，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.　

Answer 1

21. 本小题主要考查两个平面垂直的性质、二面角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.

（Ⅰ）证明：如图，取AC中点D，连结PD、BD.

因为PA=PC，所以PD⊥AC，

又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，

所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC的外接圆直径，

因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：因为AB=BC，D为AC中点，

所以BD⊥AC.

又面PAC⊥面ABC，

所以BD⊥平面PAC，D为垂足.

作BE⊥PC于E，连结DE，

因为DE为BE在平面PAC内的射影，

所以DE⊥PC，∠BED为所求二面角的平面角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=.

在Rt△PDC中，PC=3，DC=，PD=，

所以DE===.

因此，在Rt△BDE中，tanBED==，∠BED=60°，

所以侧面PBC与侧面PAC所成的二面角为60°.