Question

已知定义域为R的奇函数f(x)，求证：

(1)f(0)=0；

(2)若在区间[a，b](b＞a＞0)上f(x)有最大值M，那么f(x)在区间[－b，－a]上必有最小值－M．

Answer 1

答案：略
解析：

充分利用奇函数的定义及奇函数图像的特点求解． 证明：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=－f(0)，∴f(0)=0， (2)∵M是f(x)在区间[a，b]上的最大值，则对于任意的xÎ [a，b]，都有f(x)≤M． 任取，则有， ∴． ∵f(x)是R上的奇函数， ∴， ∴，， 即对任意的，都有． ∴f(x)在区间[―b，―a]上的最小值是－M．

提示：

(1)灵活运用函数奇偶性的概念，是解决某些问题的关键． (2)奇函数f(x)的图像关于原点对称，当0属于f(x)的定义域时，必有f(0)=0．但是偶函数不具有此特点． (3)奇(偶)函数图像的特点是解决某些问题的重要辅助手段．但图形主要帮助观察理解问题，寻求解题途径，不能代替推理证明．