Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．

（Ⅰ）求证：BC⊥AM；

（Ⅱ）若M，N分别是CC₁，AB的中点，求证：CN //平面AB₁M；

（Ⅲ）若，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥平面ABC，

所以CC₁⊥BC．                     ……………………1分

       因为AC=BC=2，，

       所以由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．  ……………………2分

       因为AC∩CC₁=C，

所以BC⊥平面ACC₁A₁．              ……………………3分

因为AM平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AM．                      ……………………4分

（Ⅱ）连结A₁B交AB₁于P．              ……………………5分

因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁，

所以P是A₁B的中点．

因为M，N分别是CC₁，AB的中点，

所以NP // CM，且NP = CM，

所以四边形MCNP是平行四边形，      ……………………6分

所以CN//MP．                      ……………………7分

因为CN平面AB₁M，MP平面AB₁M，   ………………8分

所以CN //平面AB₁M．               ……………………9分

（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC₁⊥平面ABC，

以C为原点，CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz．

       因为，所以C（0,0,0），A（2,0,0），B₁（0,2,4），，，

       ．                                          ……………………10分

设平面的法向量，则，．

       即          ……………………11分

       令，则，即．

       又平面MB₁C的一个法向量是，

所以．   ………………12分

由图可知二面角A-MB₁-C为锐角，

所以二面角A-MB₁-C的大小为．                            ……………………14分