题目内容
已知椭圆C1:
=1(a＞b＞0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:x2+(y-3)2=1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3-
的直线l恰好与圆C2相切.（1）求椭圆C1的离心率；
（2）若
·
的最大值为49，求椭圆C1的方程.
解:(1)直线l的方程为bx+cy-(3-)c=0.
因为直线l与圆C2：x2+(y-3)2=1相切,所以d==1.
可得2c2=a2,从而e=.
(2)设P(x,y),则·
=(
+
)(
+
)=
-
=x2+(y-3)2-1=-(y+3)2+2c2+17(-c≤y≤c),
或者设M(x1,y1),N(x2,y2)，P(x,y),因为x1+x2=0,y1+y2=6,x12+y12-6y1+8=0.
所以
·
=(x1-x)(x2-x)+(y1-y)(y2-y)=x2+y2-(x1+x2)x+(y1+y2)y+x1x2+y1y2=x2+y2+6y-x12+y1
(6-y1)=x2+y2+6y+8=-(y+3)2+2c2+17.
①当c≥3时,(
·
)max=17+2c2=49,解得c=4,此时椭圆C1为
+
=1.
②当0＜c＜3时,(
·
)max=-(-c+3)2+17+2c2=49,
解得c=5
-3,但(5
-3)-3=
-6＞0,
所以5
-3＞3.故c=5
-3舍去.
综上所述,椭圆C1的方程为
=1.
练习册系列答案
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=1，其左准线为l1，右准线为l2，一条以原点为顶点，l1为准线的抛物线C2交l2于A、B两点，则|AB|等于（ ）
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