Question

已知椭圆G的中心在坐标原点，离心率为

5

3

，焦点F₁、F₂在x轴上，椭圆G上一点N到F₁和F₂的距离之和为6．
（1）求椭圆G的方程；
（2）若∠F₁NF₂=90°，求△NF₁F₂的面积；
（3）若过点M（-2，1）的直线l与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设椭圆G的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距为c．
则

2a=6 c a = 5 3

，
解得

a=3 c= 5

，
∴b²=a²-c²=9-5=4
所以椭圆G的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）若∠F₁NF₂=90°，
则在Rt△NF₁F₂中，|NF₁|²+|NF₂|²=|F₁F₂|²=20．
又因为|NF₁|+|NF₂|=6
解得|NF₁|•|NF₂|=8，
所以S△NF1F2=

1

2

|NF1|•|NF2|=4
（3）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），M的坐标为（-2，1），
当k不存在时，A、B关于点M对称显然不可能．
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，
代入椭圆G的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
△=（36k²+18k）²-4（4+9k²）（36k²+36k-27）=16×9（5k²-4k+3）
=16×45[(k-

2

5

)2+

11

25

]＞0
因为A，B关于点M对称，
所以

x1+x2

2

=-

18k2+9k

4+9k2

=-2，解得k=

8

9

，
所以直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，
即8x-9y+25=0（经检验，符合题意）．