Question

圆x²+y²-4x-2y+c=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=90°则c值是

 

．

Answer 1

分析：因为圆与y轴交于A，B两点，令x=0求出圆与y轴的交点坐标，分别表示出直线PA和直线PB的斜率，因为PA与PB垂直得到斜率乘积等于-1，得到方程求出c即可．

解答：解：在圆的方程中令x=0得到y²-2y+c=0，解得y=1±

1-c

．
且圆的方程变为：（x-2）²+（y-1）²=5-c，
圆心坐标为（2，1），设A在B的上边，
则A（0，1+

1-c

），B（0，1-

1-c

）
则直线PA的斜率k₁为

1-c

-2

，直线PB的斜率k₂为

1-c

2

，
因为∠APB=90°，所以PA⊥PB得k₁•k₂=-1；
即

1-c

-2

•

1-c

2

=-1；
解得c=-3
故答案为-3

点评：考查学生综合运用直线与圆方程的能力，以及两直线垂直时斜率乘积为-1的应用．