Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=30°。

（1）求证：EF⊥PB；
（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P-EFCB的体积。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵EF∥BC，AB⊥BC，
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP
又∵EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
PB平面PEB，
∴EF⊥PB。
（2）由（1）知EF⊥平面PEB，
又∵EF平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面PEB
又∵平面BCFE∩平面PEB=BE，
在平面PEB内，过P点作PD⊥BE于D，
∴PD⊥平面BCFE，
设PE=x，x∈（0，4），则BE=4-x
在Rt△PED中，∵∠PEB=30°，
∴
∴
 
当且仅当x=2．即E为AB的中点时，△PEB面积最大
此时
易得S_梯形EFCB=
∴S_梯形EFCB×。