Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，
P、Q分别是CC₁、C₁D₁的中点．点P到直线AD₁的距离为

66

4

．
（1）求证：AC∥平面BPQ；
（2）求二面角B-PQ-D的大小．

Answer 1

分析：先利用P到直线AD₁的距离为

66

4

，计算棱AD的长，由与AD⊥DC⊥DD₁，所以以这三条棱为轴建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，（1）先利用线面垂直的判定，求出平面BPQ的法向量

a

，再利用向量数量积运算证明AC垂直于平面BPQ的法向量，从而AC平行于平面BPQ，（2）先证明平面DPQ的法向量为

DA

，再结合（1），利用向量夹角公式计算两个法向量的夹角的余弦值即可的二面角的大小

解答：解：如图1：设AD=a，则D到直线AD₁的距离为

AD×DD1

AD1

=

a

a2+1

取DD₁中点M，过M作MG⊥AD₁，连接PM，PG
则M到直线AD₁的距离MG=

a

2 a2+1

∵PM∥CD，∴PM⊥平面ADD₁A₁
∴AD₁⊥PM，又MG⊥AD₁，
∴AD₁⊥平面PMG
∴PG⊥AD₁
∴PG就是点P到直线AD₁的距离
∴PG=

66

4

在Rt△PMG中，PM²=PG²-MG²，即4=(

66

4

)2-(

a

2 a2+1

)2，
解得a=1，即AD=1
如图2：建立空间直角坐标系
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，2，

1

2

），Q（0，1，1）
∴

BP

=（-1，1，

1

2

），

PQ

=（0，-1，

1

2

），

AC

=（-1，2，0）
（1）证明：设平面BPQ的法向量为

a

=（x，y，z）
则

a • BP  =-x+y+ 1 2 ×z=0 a •  PQ =-y+ 1 2 ×z=0

取其法向量为

a

=（2，1，2）
∵

AC

•

a

=-2+2+0=0
∴

AC

⊥

a

，AC?平面BPQ
∴AC∥平面BPQ；
（2）∵AD⊥平面DPQ
∴平面DPQ的法向量为

DA

=（1，0，0）
由（1）知，平面BPQ的法向量为

a

=（2，1，2）
∴cos＜

DA

，

a

＞=

DA • a

| DA || a |

=

2

1× 9

=

2

3

∴二面角B-PQ-D的大小为arccos

2

3

点评：本题综合考查了点到直线的距离的作法、证法、求法，利用空间直角坐标系和空间向量证明线面平行、计算二面角的方法