Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=

msinxcosx

sinx+cosx-1

．
（1）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有两解；
（2）若对任意的x₁∈（

1

2

，1），总存在x∈R，使f（x₁）=g（x）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有两解?2sin²x-3sinx+1=a-sinx，2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解，令t=sinx，对2t²-2t+1=a在[-1，1]上的解的情况分类讨论即可求得a的取值范围；
（2）依题意，可求得f（x₁）的值域是[-

1

8

，0），令μ=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），再对g（x）=m（t）=

m(t+1)

2

（-

2

≤μ≤

2

，μ≠1）中m的范围分m=0、m＞0与m＜0讨论，利用f（x₁）的值域是g（x）值域的子集即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π]上有两解，即2sin²x-3sinx+1=a-sinx，2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解．
令t=sinx，即2t²-2t+1=a在[-1，1]上的解的情况如下：
①当t=-1时，x有唯一解x=

3π

2

；
②当t=1时，x有唯一解x=

π

2

；
③当△=0时，a=

1

2

，t=

1

2

，x=

π

6

或

5π

6

…3
④令f（t）=2t²-2t+1-a，
当f（1）•f（-1）＜0即（5-a）（1-a）＜0，即a∈（1，5）时有两解…5
综上，a的取值范围是a∈（1，5）或a=

1

2

…6
（2）∵x₁∈（

1

2

，1），
∴f（x₁）的值域是[-

1

8

，0），
对于g（x）=

msinxcosx

sinx+cosx-1

，令μ=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
则g（x）=m（t）=

m(t+1)

2

（-

2

≤μ≤

2

，μ≠1）…7
当m=0时，显然不满足题意，
当m＞0时g（x）的值域为[

m(1- 2 )

2

，m）∪（m，

m(1+ 2 )

2

]，
当m＜0时g（x）的值域为[

m(1+ 2 )

2

，m）∪（m，

m(1- 2 )

2

]，…9
依题意知，f（x₁）的值域是g（x）值域的子集，
∴当m＞0时，只需

m(1- 2 )

2

≤-

1

8

，解得m≥

2 +1

4

…10
当m＜0时，只需m＜-

1

8

…11
综上，实数m的取值范围是（-∞，-

1

8

）∪[

2 +1

4

，+∞）…12

点评：（1）主要考查了以三角函数为载体转化为二次函数在闭区间上的最值问题，突出分类讨论思想的应用；
（2）考查了三角函数的值域的求解及分类讨论思想的应用体现了化归与转化思想的应用，方程与函数的思想的应用，属于难题．