题目内容

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n+a_n= $数学公式$ ．
（1）证明：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）设b_n=S_n+ $数学公式$ ，T_n= $数学公式$ ，求证：T_n＜2．

证明：（1）当n=1时，
2 $\text{[math]}$ ?a₁= $\text{[math]}$ ，a₁-1= $\text{[math]}$
当n≥2时，S_n+a_n= $\text{[math]}$ ①
S_n-1+a_n-1= $\text{[math]}$ ②
①-②得2a_n-a_n-1=n+1
∴2a_n=a_n-1+（n+1）
即2a_n-2n=a_n-1-（n-1），2（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
即 $\text{[math]}$
∴数列数列{a_n-n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
（2）由（1）得a_n-n= $\text{[math]}$
∴a_n=n+ $\text{[math]}$
∴S_n= $\text{[math]}$ -n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴b_n=S_n+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴T_n=2（1- $\text{[math]}$ ）

=2（1- $\text{[math]}$ ）＜2．
分析：（1）由题意知当n=1时，2 $\text{[math]}$ ?a₁= $\text{[math]}$ ，a₁-1= $\text{[math]}$ ，n≥2时a_n=S_n-S_n-1，得2a_n-a_n-1=n+1，即可证明结论；
（2）先由（1）求得数列{b_n}的通项公式并整理成b_n= $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，然后利用列项求和求出Tn=2（1- $\text{[math]}$ ），求出数列{b_n}的前n项和 T_n＜2．
点评：本题考查了等比数列的判定，此题采取裂项的方法求和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于难题．