Question

已知等差数列{a_n}，其中a₁=25，a₄=16，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前n项和S_n，并求S_n的最大值．

Answer 1

（1）∵a₄-a₁=3d=-9，∴d=-3a_n=a₁+（n-1）d=25-3（n-1）=28-3n
（2）Sn=na1+

n(n-1)

2

d=25n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3n2

2

+

53n

2

当n=-

b

2a

=-

53 2

2×(- 3 2 )

=

53

6

时，S_n取到最大值，但n∈N^*，所以取 n=9．
此时S_n的最大值为S9=-

3n2

2

+

53n

2

=-

3×81

2

+

53×9

2

=117
另由（1）知数列{a_n}是递减数列，要使前n项和S_n取最大值，只需满足

an≥0 an+1＜0

即 

28-3n≥≥0 28-3(n+1)＜0

解得 8

1

3

＜n≤9

1

3

，又n∈N^*
∴n=9，即前9项和最大．
这时 S9=9a1+

9×8

2

d=9×25+

9×8

2

×(-3)=117