题目内容

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E是PD的中点，
（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值。

（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2，知PA⊥AB，
同理，PA⊥AD，
所以PA⊥平面ABCD；
因为
，
所以共面，
又PB平面EAC，
所以PB∥平面EAC。
（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，
作GH⊥AC于H，连结EH，
则EH⊥AC，∠EHG即为二面角θ的平面角，
又E是PD的中点，从而G是AD的中点，
，
所以。
练习册系列答案
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精英家教网如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
精英家教网如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=
2
a，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求二面角E-AC-D的大小：
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
如图，在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=60°，SA=AB=a，SB=SD=
2
SA，点P在SD上，且SD=3PD．
（1）证明SA⊥平面ABCD；
（2）设E是SC的中点，求证BE∥平面APC．
如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点E、F、G分别为CD、PD、PB的中点．PA=AD=2．
（1）证明：PC∥平面FAE；
（2）求二面角F-AE-D的平面角的正切值．
精英家教网如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=2，PB=PD=2
2
，点F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求BF与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）若点E在棱PD上，当
PE
PD
为多少时二面角E-AC-D的大小为
π
6
？