Question

已知函数f（x）=ln（2x-1）+ax²-3x在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：?x∈（1，3]，m∈（0，+∞），f(x)＜

m

+

1

m

-4．

Answer 1

分析：（1）求出导函数f′（x），令f′（1）=0，求出a值；将a的值代入f′（x）中；令f′（x）＞0求出递增区间，令f′（x）＜0，求出递减区间．
（2）求出f（x）的极大值与端点值求出f（x）在（1，3]的最大值；利用基本不等式求出

m

+

1

m

-4的最小值，
得到

m

+

1

m

-4的最小值大于f（x）的最大值，得证．

解答：解：（1）f′（x）=

2

2x-1

+2ax-3，由f′（1）=0，得a=

1

2

．（4分）
∴f（x）=ln^（2x-1）+

1

2

x2-3x，(x＞

1

2

)，f^/（x）=

2

2x-1

+x-3=

2x2-7x+5

2x-1

=

(x-1)(2x-5)

2x-1

，
有图可知函数f（x）单调区间为
增区间为：(

1

2

，1)，(

5

2

，+∞)，减区间为：(1，

5

2

)（8分）

（2）由f（x）在(

1

2

，1)，(

5

2

，3)递增，在(1，

5

2

)递减．在x=1时取得极大值-

5

2

又f（3）=ln5-f（3）=ln5-f（3）=ln5-

9

2

，-

5

2

＞ln5-

9

2

所以在?x∈（1，3]，f（x）＜-

5

2

又m∈（0，+∞），

m

+

1

m

-4≥2-4=-2，（当m=1时取等号）
即

m

+

1

m

-4的最小值为-2，-2＞-

5

2

∴?x∈（1，3]，f（x）＜

m

+

1

m

-4恒成立．

点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率；考查利用导数求函数的单调区间及求极值、最值；考查基本不等式求函数的最值．