Question

（2010•马鞍山模拟）已知函数f（x）=|x-a|-lnx．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞1时，证明：f(x)≥ln

1

a

．

Answer 1

分析：（1）利用a=1化简函数的表达式，对函数求出导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间．
（2）通过x＞a与0＜x＜a，分别利用函数的导数，判断出函数的单调性，求出函数的最小值，即可证明f(x)≥ln

1

a

．

解答：解：（1）a=1时，f(x)=|x-1|-lnx=

x-1-lnx (x≥1) 1-x-lnx (0＜x＜1)

当x≥1时，f(x)=x-1-lnx ⇒f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，…（2分）
当0＜x＜1时，f(x)=1-x-lnx ⇒f′(x)=-1-

1

x

＜0
∴f（x）在区间（0，1）上单调递减…（4分）
故a=1时，f（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1）．…（6分）
（2）因为a＞1，所以当x≥a时，
f(x)=x-a-lnx ⇒f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增，…（8分）
当0＜x＜a时，f(x)=a-x-lnx ⇒f′(x)=-1-

1

x

＜0
∴f（x）在区间（0，a）上单调递减…（10分）
∴f(x)min=f(a)=-lna=ln

1

a

，从而f(x)≥ln

1

a

…（12分）

点评：本题是中档题，考查函数的单调性与单调区间的求法，导数的应用，函数的最值的求法，分类讨论思想的应用．