Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 （α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣ ）=2 ．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的参数方程为 （α为参数），曲线C的直角坐标方程： =1，

直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣ ）=2 ，展开 ，ρcosθ+ρsinθ=4，

∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．

（2）解：设点P的坐标为 ，

得P到直线l的距离d= ，令sinφ= ，cosφ= ．

则d= ，显然当sin（α+φ）=﹣1时，dmax= ．此时α+φ=2kπ+ ，k∈Z．

∴cosα= =﹣sinφ=﹣ ．sinα=sin =﹣cosφ=﹣ ，即P ．

【解析】（1）利用cos2α+sin2α=1可把曲线C的参数方程 （α为参数）化为直角坐标方程，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣ ）=2 ，展开 ，利用 即可化为直角坐标方程．（2）设点P的坐标为 ，利用点到直线的距离公式可得P到直线l的距离d= ，再利用三角函数的单调性即可得出．