Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M(1，

3

2

)，其离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m  (|k|≤

1

2

)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，得出3a²=4b²①又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，得到

1

a2

+

9

4b2

=1解之即得a，b．从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，所以|OP|=

3

；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得e2=

a2-b2

a2

=

1

4

，所以3a²=4b²①（1分）
又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1②（2分）
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得m=±

3

2

，
所以|OP|=

3

．（6分）
当k≠0时，则由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

消y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0③（8分）
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则x0=x1+x2=-

8km

3+4k2

，y0=y1+y2=k(x1+x2)+2m=

6m

3+4k2

．（9分）
由于点P在椭圆C上，所以

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1．（10分）
从而

16k2m2

(3+4k2)2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．（11分）
又|OP|=

x 2 0 + y 2 0

=

64k2m2 (3+4k2)2 + 36m2 (3+4k2)2

=

4m2(16k2+9) (3+4k2)2

=

16k2+9 4k2+3

=

4- 3 4k2+3

．（12分）
因为0＜|k|≤

1

2

，得3＜4k²+3≤4，有

3

4

≤

3

4k2+3

＜1，
故

3

＜|OP|≤

13

2

．（13分）
综上，所求|OP|的取值范围是[

3

，

13

2

]．（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决．