题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，c cosA成等差数列．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= $数学公式$ ，试求△ABC面积S的最大值．

解：（I）由题意可得，在△ABC中，2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，
∴cosB= $\text{[math]}$ ，∴角B= $\text{[math]}$ ．
∵（Ⅱ）若b= $\text{[math]}$ ，∵B= $\text{[math]}$ ，由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB，即 3=a²+c²-ac．
再由 a²+c²≥2ac，可得 3≥ac，∴△ABC面积S= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故△ABC面积S的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由题意可得2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，解得cosB= $\text{[math]}$ ，从而求出角B．
（Ⅱ）由余弦定理可得3=a²+c²-ac，再由 a²+c²≥2ac，可得 3≥ac，故有ABC面积S= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，由此得到S的最大值．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题．