Question

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx，满足f(1＋x)＝f(1－x)， (1) 求方程f(x)＝0的解； (2) 若f(x)＝6有一解在(3，4)且a∈N求f(x)的解析式； (3) 在(2)的条件下y＝f(x)在[m，n]上的值域还是[m，n]，求m、n的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	由f(1＋x)＝f(1－x)得4ax＋2bx＝0………………………2分 ∵x不恒为0∴2a＋b＝0即f(x)＝ax(x－2) ∵a≠0∴x＝0，x＝2………………………………………………5分
(2)	设g(x)＝f(x)－6＝ax(x－2)－6………………………6分 根据题意g(3)g(4)＜0∴(3a－6)(8a－6)＜0………………………8分 ∴4/3＜a＜2∵a∈N∴a＝1 f(x)＝x2－2x………………………………………………10分
(3)	①若n≤1则有f(m)＝n且f(n)＝m ∵m＜n≤1∴无解………………………12分 ②若m≥1则有f(m)＝m且f(n)＝n得m＝n＝3 而m＜n∴无解………………………14分 ③1∈[m，n]∵f(1)＝－1∴m＝－1 又∵f(－1)＝3∴n≥3∴f(n)≥3 必有f(n)＝n从而n＝3 综合的m＝－1　　n＝3………………………16分