Question

（本小题满分13分）

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为，

∠BAC=90°,⊥平面ABC,  =,AB=,AC=2, =1,=.

(1)证明:平面D⊥平面BC；

(2)求二面角A——B的余弦值.

Answer 1

方法一  (1)证明  ∵A₁A⊥平面ABC,BC平面ABC,

∴A₁A⊥BC.  ……………………………………………………………………1分

在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=.

∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==,

∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,

即AD⊥BC.      ……………………………………………………………………3分

又A₁A∩AD=A,∴BC⊥平面A₁AD. ………………………………………………4分

∵BC平面BCC1B1,∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁. ……………………………5分

(2)解  如图①,作AE⊥C₁C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC₁A₁,

∴AE是BE在平面ACC₁A₁内的射影.    ………………………………6分

由三垂线定理知BE⊥CC₁,

∴∠AEB为二面角A—CC₁—B的平面角. ………………………………7分                                             

过C₁作C₁F⊥AC交AC于F点,

图①

则CF=AC-AF=1,

C₁F=A1A=,∴∠C₁CF=60°. …………………………………………9分

在Rt△AEC中,

AE=ACsin60°=2×=,

在Rt△BAE中,tan∠AEB===,

∴cos∠AEB=, …………………………………………………………12分

即二面角A—CC₁—B余弦值为.………………………………………13分

方法二  (1)  证明  如图②,建立空间直角坐标系,

图②

则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),

A₁(0,0,),C₁(0,1, ). ……………………………………………………1分

∵BD∶DC=1∶2,∴=,

∴D点坐标为,

∴=, =(-,2,0),=(0,0,).………………………3分

∵·=0，·=0，

∴BC⊥AA₁，BC⊥AD.又A₁A∩AD=A，………………………………4分

∴BC⊥平面A₁AD.又BC平面BCC₁B1，

∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁.………………………………………………5分

1的法向量为n=(x,y,z),

则·n=0，·n=0， …………………………………………………6分

∴

∴x=y，z=，可取y=1，则n=，…………………9分

cos〈m,n〉=

=, 

即二面角A—CC₁—B的余弦值为. ……………………………………13分