Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1(x∈R)；
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角二倍角公式进行化简，然后利用赋值角公式将其化简成y=Asin（ωx+φ）的形式，从而可求出函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）根据x∈[0，

π

2

]，求出2x+

π

6

的取值范围，再根据正弦函数的性质可求出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1，得f(x)=

3

(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
（1）T=

2π

2

=π，所以函数f（x）的最小正周期为π；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]则sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，此时x=

π

6

，最小值为-1，此时x=

π

2

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，以及三角函数的单调区间，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．