Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）求函数f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦函数展开，然后利用二倍角的正弦函数，再用两角和的正弦函数化简为f（x）=2sin（2x+

π

3

），直接求出函数
f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）借助正弦函数的最值，直接求函数f（x）的最小值及取得最小值时相应的x值．

解答：解：（1）函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
=2cosx（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）
∴f（x）的最小正周期T=π．
f（x）的单调增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
（2）当2x=

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z
即：x=kπ-

5π

12

 k∈Z时，f（x）取最小值-2．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，求值，考查两角和的装修公司、二倍角、正弦函数的最值、周期等有关知识，考查计算能力，以及基本知识掌握的程度，是常考题型．