题目内容
如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．
证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=
．
又AB∥DE，且AB=
．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
又AF?平面ACD
∴DE⊥AF 又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF
∴BP⊥平面CDE
又∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=
．又AB∥DE，且AB=
． ∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE
（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD
又AF?平面ACD
∴DE⊥AF 又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又BP∥AF
∴BP⊥平面CDE
又∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE
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