Question

已知函数f(x)=

1

4

x4-x3+x2+a(0＜x≤6)．
（1）求函数的单调区间及最值；
（2）a为何值时，方程f（x）=0有三个不同的实根．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0，得函数的单调区间，最后列表，通过比较极值和区间端点值求的函数的最值
（2）由（1）所得结论，模拟函数f（x）的图象，通过对极值及端点值正负的判断，列出能使方程f（x）=0有三个不同的实根的不等式组，解不等式即可得a的范围

解答：解：（1）f′（x）=x³-3x²+2x=0⇒x=0，1，2

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，6）
f′（x）	＞0	0	＜0	0	＞0
f（x）	增	极大值 1 4 +a	减	极小值a	增

所以，f（x）在（0，1）上单增，在（1，2）单减，在（2，6）上单增；
另外，f（6）=72+a，
所以，最大值为f（6）=72+a，最小值为f（2）=a；
（2）要使方程f（x）=0有三个不同的实根，需函数f（x）与x轴有三个交点，
由（1）可知，需

f(0)＜0 f(1)＞0 f(2)＜0 f(6)≥0

，即

a＜0 1 4 -1+1+a＞0 4-8+4+a＜0 1 4 ×64-63+62+a≥ 0

解得-

1

4

＜a＜0

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，求函数最值以及利用导数和极值解决函数零点个数问题的方法和技巧，解题时要将所的结论与函数的性质，图象结合，准确解决问题