Question

已知函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：-

1

a

＜g(a)＜0．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减可得答案；
（2）由（1）可知，f（x）的最小值为 g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0，构造函数设 φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性和最值，即可证明结论．

解答：解：（1）由已知可得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
而 f′(x)=

a(x- 1 a )

x+1

，
∵a＞0，x＞-1，∴当 -1＜x＜

1

a

时，f'（x）＜0，
当 x＞

1

a

时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是 (-1，

1

a

)，单调递增区间是 (

1

a

，+∞)．     
（2）由（1）可知，f（x）的最小值
为 g(a)=f(

1

a

)=1-(a+1)ln(

1

a

+1)，a＞0． 
要证明 -

1

a

＜g(a)＜0，
只须证明

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．            
设 φ(x)=ln(x+1)-

x

x+1

，x∈（0，+∞）．                               
则 φ′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

＞0，
∴φ（x）在区间（0，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（0）=0，即 ln(x+1)＞

x

x+1

．
取 x=

1

a

得到

1

a+1

＜ln(

1

a

+1)成立．                   
设ψ（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，+∞），同理可证ln（x+1）＜x．
取 x=

1

a

得到 ln(

1

a

+1)＜

1

a

成立．因此，-

1

a

＜g(a)＜0．

点评：本题以函数为载体，，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上第二个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点，属难题．