Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，且满足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2006）的值为

2

．

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，且满足f(x)=-f(x+

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，我们可得f（x）是一个以3为周期的周期函数，且f（3k）=-2，f（3k+1）=1，f（3k+2）=1，k∈Z，然后利用分组分解法，我们可以将f（1）+f（2）+…+f（2006）转化为f（1）+f（2），进而得到答案．

解答：解：∵函数f（x）满足f(x)=-f(x+

3

2

)，
∴f（x+3）=f[(x+

3

2

)+

3

2

]=-f(x+

3

2

)=f（x）
即f（x）是一个以3为周期的周期函数
又∵函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)对称，
∴f（x）=-f（-

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2

-x），又函数f（x）满足f(x)=-f(x+

3

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)，
∴f（-

3

2

-x）=f(x+

3

2

)
即f（x）=f（-x）
故函数f（x）为定义在R上的偶函数
又∵f（-1）=1，f（0）=-2，
∴f（1）=f（-1）=f（2）=1
∴f（3k）=-2，f（3k+1）=1，f（3k+2）=1，k∈Z
∴f（1）+f（2）+…+f（2006）=f（1）+f（2）=1+1=2
故答案为2

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，奇偶函数图象的对称性，其中根据已知条件确定出函数的周期，及一个周期中各整数对应的函数值，是解答本题的关键．