Question

给出下列5个命题：①函数f（x）=x|x|+ax+m是奇函数的充要条件是m=0；②若函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＜1}，则a＜-1；③若log_a2＜log_b2，则（其中n∈N^*）；④圆：x²+y²-10x+4y-5=0上任意一点M关于直线ax-y-5a=2的对称点M'也在该圆上；⑤函数y=cos|x|是周期函数．其中正确结论的序号是________．（填写你认为正确的所有结论序号）

Answer 1

①④⑤
分析：依据各选项中的已知条件，逐一分析各个各个选项是否正确，把正确的选项找出来，填在横线上．
解答：①函数f（x）的定义域是实数集R，关于原点对称，此函数奇函数的充要条件是f（-x）=-f（x），即-x|x|-ax+m=-x|x|-ax-m，即 m=0，故①正确．
②函数f（x）=log（ax+1）的定义域是{x|x＜l}，故 a＜0，且ax+1＞0的解集是x＜l，故只有a=-1，故②不正确．
③∵log_a2＜log_b2，∴a＞b＞1，或者 ，
当a＞b＞1时，则 = ==1，
当 b＞1 且 0＜a＜1时，则 = =（-1）ⁿ=±1，
故③不正确．
④圆：x²+y²-10x+4y-5=0 即 （x-5）²+（y+2）²=34，圆心为（5，-2）
直线ax-y-5a=2 即a（x-5）-y-2=0，此直线过定点（5，-2），即圆的圆心，故圆：x²+y²-10x+4y-5=0 关于此直线
对称，故④正确．
⑤函数y=cos|x|是周期为π的周期函数．故⑤正确．
综上，①④⑤正确，②③不正确，
故答案为 ①④⑤．
点评：本题考查函数的奇偶性、周期性、定义域、直线过定点、点关于直线对称，以及极限的运算，体现了等价转化和分类讨论的数学思想．