Question

已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a=2，b=-3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值．
（2）设x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．
解答：解：（1）∵，
，
x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，
∴F（x）_max=F（1）=2
（2）不妨设x₁＜x₂，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需证，
，，
∵，
∴，即 ，∴，
令，x∈（x₁，+∞）．只需证，
，令 ，则 ，G（x）在x∈（x₁，+∞）单调递增．
G（x）＞G（x₁）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x₁，+∞）单调递增．H（x）＞H（x₁）=0，
H（x）=（x+x₁）ln-2（x-x₁）＞0，∴（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．
点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．