Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1在区间（1，2）内有极值，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-2，-1）∪（

  1

  3

  ，

  2

  3

  ）
• B、（-

  2

  3

  ，-

  1

  3

  ）
• C、（1，2）
• D、（-

  2

  3

  ，

  1

  3

  ）∪（1，2）

Answer 1

分析：由函数f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1在区间（1，2）内有极值，我们易得函数的导函数在区间（1，2）内有零点，结合零点存在定理，我们易构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1
∴f′（x）=x²-2mx-3m²，
若函数f（x）=

1

3

x³-mx²-3m²x+1在区间（1，2）内有极值，
则f′（x）=x²-2mx-3m²在区间（1，2）内有零点
即f′（1）•f′（2）＜0
即（1-2m-3m²）•（4-4m-3m²）＜0
解得m∈（-2，-1）∪（

1

3

，

2

3

）
故选A

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法．