Question

已知双曲线x²-y²=2
（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程
（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）设以M（3，1）为中点的双曲线的弦BC，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=1①，x₂²-y₂²=1②
①-②可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∵M（3，1）为BC的中点
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，BC的斜率为：
∴=3
∴以A（3，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8
代入双曲线方程可得3x²-6x+8=0，此时△＜0，即所求直线不存在
为：3x-y-8=0
（2）解：设直线方程为y-1=kx-3k，
把它代入x²-y²=1，
整理得（k²+1）x²+（6k²-2k）x+6k-9k²-2=0．
因为（3，1）在双曲线内部，所以直线和双曲线有两个不同交点，
设直线与双曲线两个交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中点坐标为C（x，y），则
x===，
y=kx-3k+1．k=
消去k得x=，
可得：x²-y²-3x+y=0，这就是所求轨迹方程．
分析：（1）以M（3，1）为中点的双曲线的弦的中点坐标，利用点差法，求出直线方程，再进行验证可得结论．
（2）设直线方程为y-1=kx-3K，把它代入x²-y²=1，得（k²+1）x²+（6k²-2K）x+6K-9K²-2=0，由此入手可以求出所截弦的中点的轨迹方程．
点评：本题考查用代入法求轨迹方程，中点公式的应用，考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法的运用，代入验证是关键．